Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+1-e^ax（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當$x∈[\frac{1}{a}，\frac{2}{a}]$時，$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，求a的取值范圍；
（3）證明：?t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）求解f'（x）=1-ae^ax，分類討論判斷單調(diào)性．
（2）利用因為$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，利用導數(shù)討論得出f（x）增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$，利用最值得出以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$．
（3）分類討論根據(jù)單調(diào)性得出最小值，①當a≤0時，f（-1）＜f（0）=0成立；當0＜a≤1時，f（-1）＜f（0）=0成立；當a＞1時，f（1）＜f（0）=0成立；判斷存在問題的成立．

解答 解：（1）f'（x）=1-ae^ax
①當a≤0時，f'（x）=1-ae^ax＞0，所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
②當a＞0時，f'（x）=1-ae^ax＞0，解得$x＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，f（x）的增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
（2）因為$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，由題意a＞0，
由（1）f（x）增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
所以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{1}{{{e^2}-e}}$
（3）因為f（0）=0
①當a≤0時，f（x）在R單調(diào)遞增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
②當0＜a≤1時，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≥0$f（x）在[-1，0]上遞增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
③當a＞1時，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜0$，f（x）在[0，1]上遞減，所以存在t=1，f（1）＜f（0）=0成立；
綜上，總存在t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

點評 本題綜合考查了導數(shù)的運用，學生的綜合分析問題的能力，解決問題的能力，屬于綜合題目．