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6.已知函數(shù)f(x)=2xm22xx∈(0,1],它的一個(gè)極值點(diǎn)是x=12
(Ⅰ)求m的值及f(x)在x∈(0,1]上的值域;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) g(x)=ex+x-2x,求證:函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x∈(0,1]上沒有公共點(diǎn).

分析 (Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),利用極值點(diǎn)求出m.然后(1)當(dāng)m=1時(shí),求出函數(shù)的值域;(2)當(dāng)m=7時(shí),求解函數(shù)f(x)的值域.
(Ⅱ)gx=ex+x2x,求出gx=ex+12x2,設(shè)h(x)=ex-(1+x),利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果.

解答 (本題滿分15分)
解(Ⅰ):令fx=42xm2x+2xm22x2=0,由題設(shè),x=12滿足方程,由此解得:m=1或m=7.
(1)當(dāng)m=1時(shí),分析可知:f(x)在x012上是減函數(shù);在x[121]上是增函數(shù);
由此可求得,故 當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇0,1].
(2)當(dāng)m=7時(shí),同樣可得:f(x)在x012上是減函數(shù);在x[121]上是增函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇24,25].
解(Ⅱ)gx=ex+x2x,所以gx=ex+12x2,因?yàn)閤∈(0,1],所以1+x2x,所以12x11+x(1),設(shè)h(x)=ex-(1+x),則h'(x)=ex-1,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),h'(x)=ex-1>0
即h(x)=ex-(1+x)為增函數(shù),故當(dāng)x∈[0,1]有h(x)>h(0),即ex-(1+x)>0,
所以ex>(1+x)(2),由(1)(2)得,當(dāng)x∈(0,1]時(shí),gx=ex+12x21+x+11+x20
所以gx=ex+x2x在x∈(0,1]上為增函數(shù),又因?yàn)間(x)在x=0處與x∈(0,1]圖象相連,故對于x∈(0,1]有g(shù)(x)>g(0),即gx=ex+x2x1;
由(Ⅰ)知:(1)當(dāng)m=1時(shí):fx=2xm22x在x∈(0,1]上的值域?yàn)閇0,1],而gx=ex+x2x1;所以f(x)<g(x),故函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x∈(0,1]上沒有公共點(diǎn).
(2)當(dāng)m=7時(shí),fx=2xm22x在x∈(0,1]上的值域?yàn)閇24,25],由于x∈(0,1],所以gx=ex+x2xex+x+2xe+1+224,所以f(x)>g(x),故函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x∈(0,1]上也沒有公共點(diǎn).
綜上所述,函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象在x∈(0,1]上沒有公共點(diǎn).

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊系列答案
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B.若直線PB與平面BCD所成角大小為45°,則θ=90°
C.若θ=60°,則直線BD與PC所成角大小為90°
D.若直線BD與PC所成角大小為90°,則θ=60°

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