Question

11．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+1（x≥1）}\\{\frac{x-4}{x-2}（x＜1）}\end{array}\right.$，則f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-4}{x-1}，1＜x＜3\\{log}_{3}（x-1），x≥4\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別求出兩段函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，再化為分段函數(shù)的形式，可得答案．

解答 解：當(dāng)x≥1時，f（x）=3^x+1≥4，
此時f^-1（x）=log₃（x-1），x≥4，
當(dāng)x＜1時，f（x）=$\frac{x-4}{x-2}$∈（1，3），
此時f^-1（x）=$\frac{2x-4}{x-1}$，1＜x＜3，
綜上所述，f^-1（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-4}{x-1}，1＜x＜3\\{log}_{3}（x-1），x≥4\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x-4}{x-1}，1＜x＜3\\{log}_{3}（x-1），x≥4\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，反函數(shù)，熟練掌握反函數(shù)的求解過程與要點，是解答的關(guān)鍵．