Question

6．（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的圖象在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．
（2）對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a_n，求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后令f'（x₀）=1，求出x₀的值后再求其正切值即可；
（2）欲求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項(xiàng)和，必須求出在點(diǎn)x=2處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，即得直線方程進(jìn)而得到切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算，從而問(wèn)題解決．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx，
∴f'（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
又因?yàn)閒'（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴x₀-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即x₀=kπ+$\frac{π}{6}$，
∴tanx₀=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）y′=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n•2^n-1-（n+1）2ⁿ，
切點(diǎn)為（2，-2ⁿ），
所以切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=2ⁿ，
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n項(xiàng)和為2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式．解后反思：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時(shí)，要首先判定所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)為切點(diǎn)．否則容易出錯(cuò)．