Question

6．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx（x＞0）}\\{a（x+1）（x≤0）}\end{array}\right.$（a≠0）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）求證：若a≠1，則函數f（x）圖象上有且只有兩對關于原點對稱的點．

Answer 1

分析 （1）求出y=xlnx的導數，求得單調區(qū)間，討論a＜0，a＞0，y=a（x+1）的單調性，即可得到所求單調區(qū)間；
（2）f（x）圖象上關于原點O對稱的點的對數即是求xlnx=a（x-1）的解的個數，討論相切的情況，即可得證．

解答 （1）解：x＞0時，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，
∴當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），f′（x）＞0，
x≤0時，f（x）=a（x+1），a＞0時，函數單調遞增，a＜0，函數單調遞減，
∴a＞0時，函數在（-∞，0），（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調遞增，在（0，$\frac{1}{e}$）上單調遞減；
a＜0，函數在（-∞，0）上單調遞增，在（0，$\frac{1}{e}$），（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調遞減；
（2）證明，f（x）圖象上存在關于原點O對稱的點，
由y=a（x+1），x＜0關于原點對稱的函數為y=-a（-x+1）即為y=a（x-1），
即求xlnx=a（x-1）的解的個數，
顯然x=1是方程的解，
又y=xlnx的導數為y′=1+lnx，
當直線y=a（x-1）和y=xlnx相切時，
設切點為M（m，mlnm），則a=1+lnm，
且a（m-1）=mlnm，解得m=1，a=1，
即有a=1時，方程xlnx=a（x-1）只有一解．
當0＜a＜1時，方程xlnx=a（x-1）還有一個解介于（0，1），
a＜0的情況不成立．
則若0＜a＜1，則函數f（x）圖象上有且只有兩對關于原點對稱的點．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和運用，同時考查函數的對稱性，考查運算能力，屬于中檔題．