Question

18．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，△ADE為等邊三角形，且平面ADE⊥平面ABCD，EF $\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：BD⊥EG；
（Ⅱ）求直線DE與平面BCF所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD⊥EG．
（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和$\overrightarrow{DE}$，利用向量法能求出直線DE與平面BCF所成的角的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OE為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2，由B（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），G（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EG}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EG}$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$+0=0，
∴BD⊥EG．
解：（Ⅱ）C（-2，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{DE}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
設(shè)直線DE與平面BCF所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴直線DE與平面BCF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．