Question

6．直線l經(jīng)過拋物線y²=4x焦點F，且與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D．
（I）若直線l的斜率為1，求線段AB的長；
（Ⅱ）求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．

Answer 1

分析 （I）拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1，由題意可得直線AB的方程為y=x-1，聯(lián)立方程可得x²-6x+1=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，x_A+x_B=6，x_A•x_B=1，由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1，代入可求
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線OA的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，令x=-1，可得y_D=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，與拋物線的方程聯(lián)立化為y²-4m-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂=-4，可得y_D=y₂．即可證明．

解答 （I）解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1
∴直線AB的方程為y=x-1
聯(lián)立方程y²=4x可得x²-6x+1=0
∴x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1=x_A+x_B+2=8
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線OA的方程為：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，令x=-1，可得y_D=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．
設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，
聯(lián)立方程y²=4x，化為y²-4m-4=0，
∴y₁y₂=-4．
∴y₂=-$\frac{4}{{y}_{1}}$
∴y_D=y₂．
∴直線DB平行于拋物線的對稱軸．

點評 本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系：相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了拋物線的定義的靈活應(yīng)用．考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．