17.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門通過(guò)“可持續(xù)指數(shù)”來(lái)進(jìn)行積累考核.已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f(n)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$噸,每年生產(chǎn)量an的倒數(shù)記作該年的“可持續(xù)指數(shù)”,如果累計(jì)“可持續(xù)指數(shù)”不小于80%,則生產(chǎn)必須停止,則該產(chǎn)品可持續(xù)生產(chǎn)3年.

分析 該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f(n)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$噸,可得a1=f(1),當(dāng)n≥2時(shí),an=f(n)-f(n-1)=n(n+1),$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用“裂項(xiàng)求和”可得$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$,即可得出.

解答 解:∵該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f(n)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$噸,
∴a1=f(1)=2,
當(dāng)n≥2時(shí),an=f(n)-f(n-1)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$-$\frac{(n-1)n(n+1)}{3}$=n(n+1),
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=1-$\frac{1}{n+1}$.
令1-$\frac{1}{n+1}$≥80%,
解得n≥4,
因此該產(chǎn)品可持續(xù)生產(chǎn)3年.
故答案為:3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、遞推關(guān)系的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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