Question

17．某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門通過“可持續(xù)指數(shù)”來進(jìn)行積累考核．已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$噸，每年生產(chǎn)量a_n的倒數(shù)記作該年的“可持續(xù)指數(shù)”，如果累計“可持續(xù)指數(shù)”不小于80%，則生產(chǎn)必須停止，則該產(chǎn)品可持續(xù)生產(chǎn)3年．

Answer 1

分析 該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$噸，可得a₁=f（1），當(dāng)n≥2時，a_n=f（n）-f（n-1）=n（n+1），$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項求和”可得$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可得出．

解答 解：∵該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的產(chǎn)量f（n）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$噸，
∴a₁=f（1）=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=f（n）-f（n-1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$-$\frac{（n-1）n（n+1）}{3}$=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
令1-$\frac{1}{n+1}$≥80%，
解得n≥4，
因此該產(chǎn)品可持續(xù)生產(chǎn)3年．
故答案為：3．

點評 本題考查了“裂項求和”、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．