Question

9．已知9^x-3^x+1-k≥0在[1，2]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)3^x=t，用換元法把9^x-3^x+1化成t²-3t+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，即可求出答案．

解答 解：設(shè)3^x=t，∵1≤x≤2，則3≤t≤9，
原式可化為：9^x-3^x+1≥k，令y=9^x-3^x+1=t²-3t+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$，
=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，當(dāng)3≤t≤9時(shí)，y為增函數(shù)，
故當(dāng)t=3時(shí)，y取最小值0，
要使等式9^x-3^x+1-k≥0在[1，2]上恒成立，只需y的最小值≥k即可，
∴k≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度一般，關(guān)鍵是掌握換元法的應(yīng)用．