Question

19．如圖，△ABC是圓內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B圓的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證；∠EBD=∠CBD．
（2）若DE=2，DC=3，求邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用角與弧的關(guān)系，得到角相等；
（2）利用角相等推導(dǎo)出三角形相似，得到邊成比例，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵BE是切線，由弦切角定理，∴∠EBD=∠DAB  …（1分）
∵∠DAC，∠CBD是同弧上的圓周角，∴∠CBD=∠DAC   …（2分）
∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAB=∠DAC  …（3分）
∴∠EBD=∠CBD  …（4分）
（2）解：∵BE是切線，由切割線定理，EB²=ED•EC=10，
∴EB=$\sqrt{10}$…（6分）
由弦切角定理，∠EBD=∠DCB    …（7分）
∴由（1）知，∠EBD=∠CBD=∠DCB，∴DC=DB=3 …（8分）
∵∠BED=∠CED，
∴△BED∽△CEB …（10分）
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{BE}$，∴$\frac{BC}{3}=\frac{5}{\sqrt{10}}$，
∴BC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弦切角、圓周角與弧的關(guān)系，還考查了三角形相似的知識(shí)，本題總體難度不大，屬于中檔題．