Question

3．設(shè)點(diǎn)F₁、F₂是平面上左、右兩個(gè)不同的定點(diǎn)，|F₁F₂|=2m，動(dòng)點(diǎn)P滿足：$|P{F_1}|•|P{F_2}|（1+cos∠{F_1}P{F_2}）=6{m^2}$．
（1）求證：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ為橢圓；
（2）拋物線C滿足：①頂點(diǎn)在橢圓Γ的中心；②焦點(diǎn)與橢圓Γ的右焦點(diǎn)重合．
設(shè)拋物線C與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)為A．問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù)m，使得△AF₁F₂的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)．若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①點(diǎn)P、F₁、F₂構(gòu)成三角形，②點(diǎn)P、F₁、F₂不構(gòu)成三角形，每種情況下分析可得|PF₁|+|PF₂|=4m，由橢圓的定義分析可得答案；
（2）根據(jù)題意，由（1）可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，分析可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，結(jié)合橢圓與拋物線的性質(zhì)分析可得m的值，即可得答案．

解答 解：（1）證明：根據(jù)題意，分2種情況討論：
若點(diǎn)P、F₁、F₂構(gòu)成三角形，又由$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}|•|P{F_2}|}}$，
則$|P{F_1}|•|P{F_2}|（1+\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}|•|P{F_2}|}}）=6{m^2}$．
整理得${（|P{F_1}|+|P{F_2}|）^2}=16{m^2}$，即|PF₁|+|PF₂|=4m（4m＞2m＞0）．
若點(diǎn)P、F₁、F₂不構(gòu)成三角形，即P、F₁、F₂三點(diǎn)共線；
也滿足|PF₁|+|PF₂|=4m（4m＞2m＞0）．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓．
（2）根據(jù)題意，由（1）可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{{4{m^2}}}+\frac{y^2}{{3{m^2}}}=1$．
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0）與橢圓的右焦點(diǎn)F₂重合．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△AF₁F₂的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)．
因?yàn)閨PF₁|+|PF₂|=4m=2|F₁F₂|，
不妨設(shè)||AF₁|=2m+1，$|{F_1}{F_2}|=2m，|A{F_2}|=2m-1\;（m∈{N^*}）$．
由拋物線的定義可知|AF₂|=2m-1=x_A+m，解得x_A=m-1，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m-1，y_A），$\left\{{\begin{array}{l}{{y_A}^2=4m（m-1）}\\{\frac{{{{（m-1）}^2}}}{{4{m^2}}}+\frac{{{y_A}^2}}{{3{m^2}}}=1}\end{array}}\right.$
整理得7m²-22m+3=0，解得$m=\frac{1}{7}（舍）$或m=3．
所以存在實(shí)數(shù)m=3，使得△AF₁F₂的邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系；關(guān)鍵是掌握橢圓的幾何性質(zhì)．