Question

20．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F和A（0，b）的連線與C的一條漸近線相交于點(diǎn)P，且$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{AP}$，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），由$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{AP}$，可得（c-m，-n）=2（m，n-b），解得m，n，把P坐標(biāo)代入y=$\frac{a}$x，即可得出．

解答 解：設(shè)P（m，n），由$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{AP}$，可得（c-m，-n）=2（m，n-b），
解得m=$\frac{c}{3}$，n=$\frac{2b}{3}$，
∴P$（\frac{c}{3}，\frac{2b}{3}）$，代入y=$\frac{a}$x，可得$\frac{c}{a}$=2，即e=2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．