【題目】已知圓,圓,如圖,分別交軸正半軸于點(diǎn).射線分別交于點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足直線與軸垂直,直線與軸垂直.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交曲線與點(diǎn),射線與點(diǎn),且交曲線于點(diǎn).問:的值是否是定值?如果是定值,請(qǐng)求出該定值;如果不是定值,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)是定值,為.
【解析】
(1) 設(shè),再根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系可得,,進(jìn)而消參求得軌跡的方程即可.
(2) 設(shè)直線的方程為,再聯(lián)立直線與(1)中橢圓的方程,根據(jù)弦長公式化簡,代入韋達(dá)定理求解即可.
解:方法一:(1)如圖設(shè),則
,所以,.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.
方法二:(1)當(dāng)射線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,方程為,
由得,同理得,所以即有動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.當(dāng)射線的斜率不存在時(shí),點(diǎn)也滿足.
(2)由(1)可知為的焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為(斜率不為0時(shí))且設(shè)點(diǎn),,由得
所以,所以
又射線方程為,帶入橢圓的方程得,即
,
所以
又當(dāng)直線的斜率為時(shí),也符合條件.綜上,為定值,且為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線平面,分別是的中點(diǎn).
(1)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;
(2)設(shè)(1)中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足.記直線與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與曲線的交點(diǎn)分別為,求的最大值及此時(shí)直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩工人在同樣的條件下生產(chǎn),日產(chǎn)量相等,每天出廢品的情況如下表:
則下列結(jié)論中正確的是 ( )
A. 甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些
B. 乙生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量比甲生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些
C. 兩人生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好
D. 無法判斷誰生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量好一些
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,圖中直棱柱的底面是菱形,其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng),且滿足:,.
(1)求證:四點(diǎn)共面,并證明∥平面.
(2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為?如果存在,求出的長;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P一ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD為正三角形.且PA=2.
(1)證明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若點(diǎn)P到底面ABCD的距離為2,E是線段PD上一點(diǎn),且PB∥平面ACE,求四面體A-CDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù),有__________個(gè)這樣的四位奇數(shù)(用數(shù)字填寫答案).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,,,二面角S-BD-C的余弦值為.
(I)證明:平面平面SBD;
(Ⅱ)求二面角A-SD-C的余弦值.
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