Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)T（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}-\frac{5}{3}}$=1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N（M，N不在坐標(biāo)軸上），若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，證明：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定出c的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出a與b的方程，再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可；
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），聯(lián)立l與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂與x₁x₂，根據(jù)∠AOB為銳角，得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，即可確定出k的范圍；
（3）由題意：確定出C₁的方程，設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），根據(jù)M，N不在坐標(biāo)軸上，得到直線PM與直線OM斜率乘積為-1，確定出直線PM的方程，同理可得直線PN的方程，進(jìn)而確定出直線MN方程，求出直線MN與x軸，y軸截距m與n，即可確定出所求式子的值為定值．

解答 解：（1）由題意得：c=1，
∴a²=b²+1，
又因?yàn)辄c(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得：a²=4，b²=3，
則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消去y得：（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵△=12k²-3＞0，∴k²＞$\frac{1}{4}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
∵∠AOB為銳角，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）＞0，即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，
整理得：（1+k²）•$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$+2k•$\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$+4＞0，即$\frac{-12{k}^{2}+16}{4{k}^{2}+3}$＞0，
整理得：k²＜$\frac{4}{3}$，即$\frac{1}{4}$＜k²＜$\frac{4}{3}$，
解得：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜k＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）由題意：C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
∵M(jìn)，N不在坐標(biāo)軸上，∴k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴直線PM的方程為y-y₂=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$（x-x₂），
化簡得：x₂x+y₂y=$\frac{4}{3}$④，
同理可得直線PN的方程為x₃x+y₃y=$\frac{4}{3}$⑤，
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入④、⑤得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}{x_1}+{y_2}{y_1}=\frac{4}{3}\\{x_3}{x_1}+{y_3}{y_1}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
∴直線MN的方程為x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0，得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，
又點(diǎn)P在橢圓C₁上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，
則$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值．

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，韋達(dá)定理，以及橢圓的簡單性質(zhì)，熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．