Question

8．已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=1．
（1）求證：CD⊥平面ADP；
（2）若M為線段PC上的點(diǎn)，當(dāng)BM⊥AC時(shí)，求二面角C-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直證明線面垂直．（2）合理建系寫出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，充分理解BM⊥AC的意義求得M點(diǎn)坐標(biāo)

解答 （1）證明：
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）
又因?yàn)槠矫鍭DP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP．…（4分）

（2）AD，AP，AB兩兩垂直，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，0，1），
C（4，0，4），P（0，4，0），$\overrightarrow{AB}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（4，0，4）$$\overrightarrow{AP}=（0，4，0），\overrightarrow{PC}=（4，-4，4）$．…（6分）

設(shè)M（x，y，z），$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}（0≤λ≤1）$，$\overrightarrow{PM}=（x，y-4，z）$．
所（x，y-4，z）=λ（4，-4，4）$\left\{\begin{array}{l}{x=4λ}\\{y=4-4λ}\\{z=4λ}\end{array}\right.$，$M（4λ，4-4λ，4λ），\overrightarrow{BM}=（4λ，4-4λ，4λ-1）$．
因?yàn)锽M⊥AC，所以$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{AC}=0$．，（4λ，4-4λ，4λ-1）•（4，0，4）=0，解$λ=\frac{1}{8}$，
所以M=$（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$，．…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{\\;n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$為平面ABM的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{\\;{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，又因?yàn)?\overrightarrow{AB}=（0，0，1），\overrightarrow{AM}=（\frac{1}{2}，\frac{7}{2}，\frac{1}{2}）$
所以$\left\{\begin{array}{l}{\\;{z}_{1}=0}\\{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{7}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$．
令${y}_{1}=1\\;得\overrightarrow{{n}_{1}}=（-7，1，0）$為平面ABM的一個(gè)法向量．
又因?yàn)锳P⊥平面ABC，所以$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，4，0）$為平面ABC的一個(gè)法向量．…（10分）

$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{n1}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
所以二面角C-AB-M的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（12分）

法2：
在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，
在平面ACP內(nèi)過點(diǎn)H作HM∥AP交PC于點(diǎn)M，連接MB  …（6分），
因?yàn)锳P⊥平面ABCD，
所以HM⊥平面ABCD．
又因?yàn)锳C?平面ABCD，
所以HM⊥AC．
又BH∩HM=H，BH?平面BHM，HM?平面BHM，
所以AC⊥平面BHM．
所以AC⊥BM，點(diǎn)M即為所求點(diǎn)．…（8分）
在直角△ABH中，AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又AC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{A}^{2}}=4\sqrt{2}$，所以$\frac{AH}{AC}=\frac{1}{8}$．
又HM∥AP，所以在△ACP中，$\frac{PM}{PC}=\frac{1}{8}$．
在平面PCD內(nèi)過點(diǎn)M作MN∥CD交DP于點(diǎn)N，則在△PCD中，$\frac{PN}{PD}=\frac{1}{8}$．
因?yàn)锳B∥CD，所以MN∥BA．
連接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP．
所以AB⊥AD，AB⊥AN．
所以∠DAN為二面角C-AB-M的平面角．…（10分）

在△PAD中，過點(diǎn)N作NS∥PA交DA于S，則$\frac{AS}{AD}=\frac{1}{8}$，
所以AS=$\frac{1}{2}$，NS=$\frac{7}{8}PA=\frac{7}{2}$，所以NA=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
所以$cos∠SAN=\frac{AS}{NA}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．
所以二面角C-AB-M的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用面面垂直證明線面垂直，是證明題常見題型．在未知某點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)利用條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)該題的難點(diǎn)也是高考常考題型．