Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，對定義域內(nèi)任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時f（x）＞0，f（2）=1；
（1）求f（1）、f（-1）；
（2）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
（4）解不等式f（x²-2x+1）＜2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=x₂=1，即有f（1）=0，令x₁=x₂=-1，即有f（-1）=0；
（2）先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，再令x₁=x，x₂=-1，代入條件即可得證；
（3）令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由x＞1，f（x）＞0，得f（

x2

x1

）＞0，則有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

），再由條件和單調(diào)性定義，即可得證；
（4）由f（2）=1，得f（4）=2，f（x²-2x+1）＜2即為：f（x²-2x+1）＜f（4），再由（3）的結(jié)論，即可得到不等式，解出即可．

解答： （1）解：對定義域內(nèi)任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，則f（1）=2f（1），即有f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，則f（1）=2f（-1），即有f（-1）=0；
（2）證明：函數(shù)f（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，
令x₁=x，x₂=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
則f（x）是偶函數(shù)；
（3）證明：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
由x＞1，f（x）＞0，得f（

x2

x1

）＞0，
則有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
則f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；
（4）解：由f（2）=1，得f（4）=2f（2）=2，
則f（x²-2x+1）＜2即為：f（x²-2x+1）＜f（4），
由于x²-2x+1=（x-1）²≥0，
則由f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
得到0＜x²-2x+1＜4，解得-1＜x＜1或1＜x＜3．
故原不等式的解集為（-1，1）∪（1，3）．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．