Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

-a
（1）若方程f（x）=0有正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|sinx•f（sinx）-sinx|，且g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)方程f（x）=0有正根，轉(zhuǎn)化為方程x²-ax+a=0有正根，對方程進(jìn)行有異號(hào)根，和兩正根或一零根一正根進(jìn)行討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）利用換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)a的取值情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）方程f（x）=0有正根?方程x²-ax+a=0有正根．△=a²-4a
①當(dāng)△=0，即a=0或a=4時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)a=4符合題意．
②當(dāng)△＞0，即a＞4或a＜0時(shí)，設(shè)方程x²-ax+a=0的兩個(gè)根為x₁、x₂，
∵a＞4時(shí)，使得

x1+x2＞0 x1x2＞0

成立，
∴a＞4符合題意，
∵a＜0時(shí)，使得x₁x₂＜0成立，
∴a＜0符合題意．
綜上，a≥4或a＜0
（2）設(shè)t=sinx，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
則函數(shù)g（x）等價(jià)為y=m（t）=|tf（t）-t|在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)．
即m（t）=|t（t+

a

t

-a）-t|=|t²-（a+1）t+a|=|（t-1）（t+a）|在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，
在方程（t-1）（t+a）=0的兩個(gè)根為t=1或t=-a，
若-a≥1，即a≤-1，此時(shí)函數(shù)m（t）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，不滿足條件．
若-a＜1，即a＞-1，要使m（t）=|tf（t）-t|在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，
則對稱軸t=-

-(a+1)

2

=

a+1

2

∈（0，1），
即0＜

a+1

2

＜1，即-1＜a＜1，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法是解決本題的關(guān)鍵．注意要對a進(jìn)行分類討論．