Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a為奇函數(shù)，則實數(shù)a=$\frac{1}{2}$；若函數(shù)y=f（x）-m存在零點，則實數(shù)m的取值范圍$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a的值，將“函數(shù)y=f（x）-m存在零點”轉(zhuǎn)化為“方程$\frac{1}{{2}^{x}-1}=m-\frac{1}{2}$存在實數(shù)根”，設(shè)t=2^x-1求出t的范圍，再畫出函數(shù)y=$\frac{1}{t}$與y=$m-\frac{1}{2}$的圖象，根據(jù)圖象有交點列出不等式求出m的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+a為奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），則$\frac{1}{{2}^{-1}-1}+a$=-（$\frac{1}{{2}^{1}-1}$+a），
解得a=$\frac{1}{2}$，
∴y=f（x）-m=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$-m，
設(shè)t=2^x-1，則t＞-1且t≠0，
∵函數(shù)y=f（x）-m存在零點，∴方程$\frac{1}{{2}^{x}-1}=m-\frac{1}{2}$存在實數(shù)根，
∴函數(shù)y=$\frac{1}{t}$與y=$m-\frac{1}{2}$的圖象有交點，如圖：
由圖得，$m-\frac{1}{2}$＞0或$m-\frac{1}{2}$＜-1，
解得m$＞\frac{1}{2}$或m$＜-\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是：$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$，
故答案為：$\frac{1}{2}$；$（-∞，-\frac{1}{2}）∪（\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點、方程的根與函數(shù)圖象的交點之間的轉(zhuǎn)化問題，以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．