Question

10．復(fù)數(shù)z滿足|2z-1+i|=4，w=z（1-i）+2+i，
（1）求w在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的軌跡C．
（2）在復(fù)平面上點(diǎn)Q（0，4）向軌跡C做切線，分別切于A、B兩點(diǎn)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求w在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的軌跡C．
（2）結(jié)合圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)w=x+yi，
則由w=z（1-i）+2+i得z=$\frac{w-2-i}{1-i}$=$\frac{1}{2}[（x-y-1）+（x+y-3）i]$，
∵復(fù)數(shù)z滿足|2z-1+i|=4，
∴|2z-1+i|²=（x-y-2）²+（x+y-2）²=2[（x-2）²+y²]=16，
即（x-2）²+y²=8，
即w在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的軌跡C為（x-2）²+y²=8．
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則對(duì)應(yīng)的切線方程分別為（x-2）（x₁-2）+yy₁=8，（x-2）（x₂-2）+yy₂=8，
∵Q（0，4）在兩條切線上，
∴-2（x₁-2）+4y₁=8，-2（x₂-2）+4y₂=8，
因此A，B兩點(diǎn)都在直線-2（x-2）+4y=8，
即AB為：x-2y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，利用待定系數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．