【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣alnx+x(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
【答案】解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時,f(x)=x2﹣lnx+x,f(1)=2,此時點(diǎn)A(1,2), , ∴切線的斜率k=f′(1)=2,
∴切線方程為:y﹣2=2(x﹣1),
即y=2x
(Ⅱ)由題意知:f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
令g(x)=2x2+x﹣a(x>0)
(i)當(dāng)△=1+8a≤0,即 時,g(x)≥0,
∴x∈(0,+∞),f′(x)≥0,
∴f(x)為(0,+∞)的單調(diào)遞增函數(shù);
(ii)當(dāng)△=1+8a>0,即 時,此時g(x)=0有兩個根: ,
①若 時,f′(x)≥0,x∈(0,+∞)
②若 a>0時,當(dāng) ;
當(dāng)
綜上可知:(i)當(dāng) 時時,f(x)為(0,+∞)的單調(diào)遞增函數(shù);
(ii)當(dāng) 時,f(x)的減區(qū)間是 ,增區(qū)間是
【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得切線的斜率,求出切點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式可得切線方程;(Ⅱ)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分),以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界線符合函數(shù)y=x+ (x>0)模型,園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上,PO= 百米.
(1)若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;
(2)若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道PQ最短.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x||x|<1},N={y|y=2x , x∈M},則集合R(M∩N)等于( )
A.(﹣∞, ]
B.( ,1)
C.(﹣∞, ]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域?yàn)?/span>,解不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=e2x , g(x)=lnx+ ,對a∈R,b∈(0,+∞),使得f(a)=g(b),則b﹣a的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作y=f(t).下面是某日水深的數(shù)據(jù):
t/h | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y/m | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 | 13 | 10 | 7 | 10 |
經(jīng)長期觀察,y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)的圖象.一般情況下,船舶航行時,船底離海底的距離為5m或5m以上時認(rèn)為是安全的(船舶停靠時,船底只需不碰海底即可).
(1)求y與t滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船希望在同—天內(nèi)安全進(jìn)出港,請問該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港?它同一天內(nèi)最多能在港內(nèi)停留多少小時?(忽略進(jìn) 出港所需的時間).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】x,y 滿足約束條件 ,若 z=y﹣ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實(shí)數(shù) a 的值為( )
A. 或﹣1
B.2 或
C.2 或1
D.2 或﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1(ω>0)的周期為π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)).現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見下表),將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良.
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.1 | 8.3 | 7.3 | 9.5 | 8.6 | 7.7 | 8.7 | 8.8 | 8.7 | 9.1 |
天數(shù) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.4 | 8.5 | 9.7 | 8.4 | 9.6 | 7.6 | 9.4 | 8.9 | 8.3 | 9.3 |
(Ⅰ)求從這20天隨機(jī)抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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