Question

【題目】已知函數(shù).

（1）過(guò)原點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義以及切點(diǎn)在切線上，也在曲線上列方程組，解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)不等式恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題： 對(duì)， 恒成立等價(jià)于的最小值不小于零，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，分類討論函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得函數(shù)最值，驗(yàn)證是否滿足條件，確定實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為 ，直線的切線方程為

， ，

即直線的切線方程為

又切線過(guò)原點(diǎn),所以，

由 ，解得 ，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 .

（Ⅱ）方法一：∵不等式對(duì)， 恒成立,

∴對(duì)， 恒成立.

設(shè)， ， ， .

①當(dāng)時(shí)， ， 在， 上單調(diào)遞減，

即， 不符合題意.

②當(dāng)時(shí)， .設(shè)，

在， 上單調(diào)遞增，即.

（�。┊�(dāng)時(shí)，由，得， 在， 上單調(diào)遞增，即， 符合題意；

（ii）當(dāng)時(shí)， ， ， 使得，

則在， 上單調(diào)遞減，在， 上單調(diào)遞增，

，則不合題意.

綜上所述， .

（Ⅱ）方法二：∵不等式對(duì)， 恒成立,

∴對(duì)， 恒成立.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

不恒成立；同理取其他值不恒成立.

當(dāng)時(shí)， 恒成立；

當(dāng)時(shí)， ，證明恒成立.

設(shè)， ， ，

.∴在， 為減函數(shù)．

，∴.

（Ⅱ）方法三：∵不等式對(duì)，恒成立,

∴等價(jià)于對(duì)， 恒成立.

設(shè)，當(dāng)時(shí)， ；∴，

函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0,0）和（1,0），函數(shù)過(guò)點(diǎn)（1.0），在恒成立，

一定存在一條過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線和函數(shù)、都相切或，一定存在一條過(guò)點(diǎn)（1,0）的直線相切和函數(shù)相交，但交點(diǎn)橫坐標(biāo)小于1，

當(dāng)都相切時(shí)．

不大于等于0.

∴.