Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為， ，且.求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，求出可得切線斜率，因?yàn)榍悬c(diǎn)為有，根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根， ，可得，且， ，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，進(jìn)而可得結(jié)論.

由的關(guān)系，用把表示出來(lái)，求出的表達(dá)式與取值范圍即可得到結(jié)論.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以， ，于是有：

， ，切點(diǎn)為.

故切線方程為.

（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，

即有兩個(gè)不等的實(shí)根， ，可得，且，

因?yàn)?/span>，則，可得.

， ，

令， ， ，

，又， 時(shí)， ，

而，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上單調(diào)遞減，

所以，得證.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及不等式證明問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.