Question

已知cos（α-

β

2

）=-

4

5

，sin（β-

α

2

）=

5

13

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由α與β的范圍求出α-

β

2

與β-

α

2

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α-

β

2

）與cos（β-

α

2

）的值，原式中的角度變形后，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴

π

4

＜

α

2

＜

π

2

，0＜

β

2

＜

π

4

，即-

π

2

＜-

α

2

＜-

π

4

，-

π

4

＜-

β

2

＜0，
∴

π

4

＜α-

β

2

＜π，-

π

2

＜β-

α

2

＜

π

2

，
∵cos（α-

β

2

）=-

4

5

，sin（β-

α

2

）=

5

13

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，cos（β-

α

2

）=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，
則cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）+（β-

α

2

）]=cos（α-

β

2

）cos（β-

α

2

）-sin（α-

β

2

）sin（β-

α

2

）=

5

13

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

35

65

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．