Question

3．設(shè)f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{4π}{3}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若銳角△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．且f（A）=$\sqrt{2}$，a=2，b=$\sqrt{6}$，求角C及邊c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式、和差化積公式、積化和差公式進(jìn)行計(jì)算得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），據(jù)此求得其最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論得到$\sqrt{2}sin（{A+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，易得A=$\frac{π}{4}$．由正弦定理得到：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．結(jié)合角B的取值范圍和特殊角的三角函數(shù)值推知角B的大小，利用三角形內(nèi)角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理來(lái)求c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{4π}{3}$），
=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-（-$\frac{1}{2}$）cosx+（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sinx，
=sinx+cosx，
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=2π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），得
2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$（k∈Z），故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵在銳角△ABC中，f（A）=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}sin（{A+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，即sin（A+$\frac{π}{4}$）=1．由0≤A≤$\frac{π}{2}$，得A=$\frac{π}{4}$．
∵a=2，b=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由0≤B≤$\frac{π}{2}$，得B=$\frac{π}{3}$．故C=π-A-B=π-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{12}$．
由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=4+6-2×2×$\sqrt{6}$cos$\frac{5π}{12}$=10-4$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=4+2$\sqrt{3}$，
故c=$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π÷ω．