Question

15．在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若2a=b+c，則$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$的最大值是2．

Answer 1

分析 由題意可得b²+c²≥2a²，化簡所給的式子為$\frac{{sin}^{2}A}{cosAsinBsinC}$，再利用正弦定理和余弦定理的應(yīng)用化為$\frac{{2a}^{2}}{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}$，由此可得它的最大值．

解答 解：在銳角△ABC中，由題意可得2a=b+c，b²+c²≥$\frac{{（b+c）}^{2}}{2}$=2a²，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，取等號．
$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$=$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$+$\frac{sinAcosC}{cosAsinC}$=$\frac{sinAsinCcosB+sinAsinBcosC}{cosAsinBsinC}$=$\frac{sinA•sin（B+C）}{cosAsinBsinC}$=$\frac{{sin}^{2}A}{cosAsinBsinC}$ 
=$\frac{{a}^{2}}{bc•cosA}$=$\frac{{a}^{2}}{\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2}}$=$\frac{{2a}^{2}}{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}$≤$\frac{{2a}^{2}}{{2a}^{2}{-a}^{2}}$=2，
故則$\frac{tanA}{tanB}+\frac{tanA}{tanC}$的最大值是2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題主要考查基本不等式，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．