Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α以x軸非負(fù)半軸為始邊，其終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線與射線y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于點(diǎn)Q，其中α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)函數(shù)的圖象求出角的正弦值和余弦值，進(jìn)一步求出結(jié)果．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的恒等變換，進(jìn)一步求出函數(shù)的正弦形式，最后求出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示：∠MOQ=$\frac{π}{3}$，
所以：$∠POQ=\frac{π}{3}-α$，
由于：sinα=$\frac{1}{3}$$\begin{array}{c}，\end{array}\right.$$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，
所以：$cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos∠POQ=cos（$\frac{π}{3}-α$）=$cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
（Ⅱ）由于P（cosα，sinα），
所以：Q（cosα，$\sqrt{3}$cosα），
則${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}|cosα||\sqrt{3}cosα-sinα|$
=$\frac{1}{2}|\sqrt{3}{cos}^{2}α-sinαcosα|$
=$\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2}cos2α-\frac{sin2α}{2}|$
=$\frac{1}{2}|sin（\frac{π}{3}-α）+\frac{\sqrt{3}}{2}$|
$≤\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2}+1|=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$，
所以：△POQ面積的最大值為：$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的最值問題及相關(guān)的運(yùn)算．