Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+4）=f（x），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x∈（-1.1]}\\{-{x}^{2}+2x+1，x∈（1，3]}\\{\;}\end{array}\right.$，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，方程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值為（e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{8}eln2}$
• B． $\frac{1}{{2}^{9}}$
• C． $\frac{e}{{2}^{8}ln2}$
• D． $\frac{e}{{2}^{9}}$

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)g（x）=4^xa與直線f（x）=2（x-4）相切，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值即可．

解答 解：由f（x）-4^xa=0得f（x）=4^xa，
∵f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
作出函數(shù)在[0，+∞）上的圖象如圖：
若方程f（x）-4^xa=0（a＞0）有且只有3個(gè)不等實(shí)根，
則等價(jià)為當(dāng)3≤x≤5時(shí)，-1≤x-4≤1，此時(shí)f（x）=f（x-4）=2（x-4），
函數(shù)g（x）=4^xa與直線f（x）=2（x-4）相切，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），n=4^ma，
則g′（x））=4^xaln4，則g′（m）=4^maln4，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-4^ma=4^maln4（x-m），
即y=4^maln4（x-m）+4^ma=4^maln4x+4^ma（1-mln4），
∵f（x）=2（x-4）=2x-8，
∴4^maln4=2且4^ma（1-mln4）=-8，
兩式相除得$\frac{{4}^{m}aln4}{{4}^{m}a（1-mln4）}$=-$\frac{2}{8}$，
得$\frac{ln4}{1-mln4}$=-$\frac{1}{4}$，即m=$\frac{4ln4+1}{ln4}$=4+$\frac{1}{ln4}$=4+log₄e，
則4^m=${4}^{4+lo{g}_{4}e}$=${4}^{4}•{4}^{lo{g}_{4}e}$=2⁸e，
則a=$\frac{2}{{4}^{m}•ln4}$=$\frac{2}{{2}^{8}e•2ln2}$=$\frac{1}{{2}^{8}eln2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)相切問(wèn)題，利用到是的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．