Question

18．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＞1．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，證明不等式成立；（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)命題成立，用上歸納假設(shè)，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞1，不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)命題成立，即$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＞1，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}+2k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-$\frac{1}{k}$，
＞1+$\frac{1}{{k}^{2}+1}$+$\frac{1}{{k}^{2}+2}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}+2k}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-$\frac{1}{k}$，
＞1+（2k+1）$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-$\frac{1}{k}$，
＞1+$\frac{{k}^{2}-k-1}{{k}^{2}+2k+1}$＞1
∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，
綜上，由（1）（2）知，原不等式對(duì)?n≥2（n∈N^*）均成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k≥2，k∈N^*）時(shí)命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．