【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若為整數(shù)，，且，不等式成立，求整數(shù)的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形，結(jié)合極值的定義即可得結(jié)論；

（2）原不等式等價于，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出的最值.

（1）由題意可得的定義域為，

當(dāng)時，恒成立，

∴在上單調(diào)遞減，無極值，

當(dāng)時，令，解得，

當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

∴在處取得極大值，且極大值為，無極小值，

綜上所述，當(dāng)時，無極值，

當(dāng)時，極大值為，無極小值.

（2）把代入可得，

∵，則

∴，

∴

令，

∴，

由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，而

∴在上存在唯一的零點且

故在上也存在唯一的零點且為

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

∴

由，可得，

∴，∴，

由(*)式等價于，

∴整數(shù)的最大值為2.

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