Question

若實(shí)數(shù)a，b，c滿足lg（10^a+10^b）=a+b，lg（10^a+10^b+10^c）=a+b+c，則c的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運(yùn)用對數(shù)和指數(shù)的關(guān)系，及基本不等式，可得10^a+b≥2

10a+b

，即10^a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取等號．對第二個等式，求出10^c，再化簡代入，分子常數(shù)化，即可得到c的最大值．

解答： 解：lg（10^a+10^b）=a+b，
即為10^a+b=10^a+10^b，
而10^a+10^b≥2

10a•10b

=2

10a+b

，
即有10^a+b≥2

10a+b

，
即10^a+b≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b，取等號．
lg（10^a+10^b+10^c）=a+b+c，
即為10^a+b+c=10^a+10^b+10^c，
即10^c=

10a+10b

10a+b-1

=

10a+b

10a+b-1

=1+

1

10a+b-1

≤1+

1

4-1

=

4

3

．
則c≤lg

4

3

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b，c取得最大值lg

4

3

．
故答案為：lg

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)與指數(shù)的互化，考查指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．