Question

11．已知函數f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$存在單調遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=e^x相切，符合情況的切線l（　　）

• A． 有3條
• B． 有2條
• C． 有1條
• D． 不存在

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設l與曲線y=e^x相切，設切點為（x₀，y₀），即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，消去a得${e}^{{x}_{0}}$x₀-${e}^{{x}_{0}}$-1=0，設h（x）=e^xx-e^x-1，求出導數和單調區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．

解答 解：函數f（x）=x-${e^{\frac{x}{a}}}$的導數為f′（x）=1-$\frac{1}{a}$e${\;}^{\frac{x}{a}}$，
依題意可知，f′（x）＜0在（-∞，+∞）有解，
①a＜0時，f′（x）＜0 在（-∞，+∞）無解，不符合題意；
②a＞0時，f′（x）＞0即a＞e${\;}^{\frac{x}{a}}$，lna＞$\frac{x}{a}$，x＜alna符合題意，則a＞0．
易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1-$\frac{1}{a}$）x-1．
假設l與曲線y=e^x相切，設切點為（x₀，y₀），
即有e${\;}^{{x}_{0}}$=1-$\frac{1}{a}$=（1-$\frac{1}{a}$）x₀-1，
消去a得${e^{x_0}}={e^{x_0}}{x_0}-1$，設h（x）=e^xx-e^x-1，
則h′（x）=e^xx，令h′（x）＞0，則x＞0，
所以h（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
當x→-∞，h（x）→-1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則${e^{x_0}}＞1$，
而a＞0時，$1-\frac{1}{a}＜1$，與${e^{x_0}}＞1$矛盾，所以不存在．
故選：D．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區(qū)間，考查直線方程的運用和構造函數法，以及函數方程的轉化思想的運用，屬于中檔題．