Question

19．教育部考試中心在對(duì)高考試卷難度與區(qū)分性能分析的研究中，在2007至2016十年間對(duì)每年理科數(shù)學(xué)的高考試卷隨機(jī)抽取了若干樣本，統(tǒng)計(jì)得到解答題得分率x以及整卷得分率y的數(shù)據(jù)，如下表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016
解答題得分率（x）	0.39	0.30	0.25	0.28	0.55	0.33	0.36	0.40	0.40	0.42
整卷得分率（y）	0.50	0.43	0.41	0.44	0.59	0.47	0.52	0.56	0.54	0.57

（1）利用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（精確到0.01）
（2）若以函數(shù)y=0.85$\sqrt{x}$-0.01來擬合y與x之間的關(guān)系，計(jì)算得到相關(guān)指數(shù)R²=0.87，對(duì)比（1）中模型，哪一個(gè)模型擬合效果更好？
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}$≈3.7，$\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}$≈5，$\sum_{i=1}^{10}{x}_{i}{y}_{i}$≈1.89，$\sum_{i=1}^{10}{{x}_{i}}^{2}$≈1.429，$\sum_{i=1}^{10}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}$≈0.006，$\sum_{i=1}^{10}$（y_i-$\overline{y}$）²≈0.036
其中${\widehat{y}}_{i}$表示（1）中擬合直線對(duì)應(yīng)的估計(jì)值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意n=10，計(jì)算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)R²=0.87，計(jì)算（1）中模型的相關(guān)指數(shù)R²≈0.83，比較得出（2）中擬合效果要好些．

解答 解：（1）根據(jù)題意，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$x_i=0.37，
$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$$\sum_{i=1}^{10}$y_i=0.5，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{1.89-10×0.37×0.5}{1.429-10{×0.37}^{2}}$≈0.67，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=0.5-0.67×0.37≈0.25，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.67x+0.25；
（2）以函數(shù)y=0.85$\sqrt{x}$-0.01來擬合y與x之間的關(guān)系，計(jì)算得到相關(guān)指數(shù)為R²=0.87，
又（1）中模型，計(jì)算相關(guān)指數(shù)為R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-{\widehat{y}}_{i}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1-$\frac{0.006}{0.036}$≈0.83，
∵0.87＞0.83，∴（2）中擬合效果要好些．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的求法與根據(jù)相關(guān)指數(shù)判斷擬合效果的應(yīng)用問題，是中檔題．