Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2sin²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍確定2x-

π

6

的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2sin²x
=

3

sin2x+1-cos2x
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x-

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1
∴0≤2sin（2x-

π

6

）+1≤3
∴f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是3，最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)．注重了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．