Question

在無窮數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．設m∈N^*，記使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m．
（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}為1，3，5，7，…，寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{a_n}為等比數(shù)列，且a₂=2，求b₁+b₂+b₃+…+b₅₀的值；
（Ⅲ）若{b_n}為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列{a_n}．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，即可寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）確定b₁=1，b₂=b₃=2，b₄=b₅=b₆=b₇=3，b₈=b₉=…=b₁₅=4，b₁₆=b₁₇=…=b₃₁=5，b₃₂=b₃₃=…=b₅₀=6，分組求和，即可求b₁+b₂+b₃+…+b₅₀的值；
（Ⅲ）若{b_n}為等差數(shù)列，先判斷a_n≥n，再證明a_n≤n，即可求出所有可能的數(shù)列{a_n}．

解答： 解：（Ⅰ）a_n≤1，則b₁=1，a_n≤2，則b₂=1，a_n≤3，則b₃=3．…（3分）
（Ⅱ）因為{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₂=2，
所以a_n=2^n-1，…（4分）
因為使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，
所以b₁=1，b₂=b₃=2，b₄=b₅=b₆=b₇=3，b₈=b₉=…=b₁₅=4，b₁₆=b₁₇=…=b₃₁=5，b₃₂=b₃₃=…=b₅₀=6，…（6分）
所以b₁+b₂+b₃+…+b₅₀=243．…（8分）
（Ⅲ）解：由題意，得1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
得a_n≥n．…（9分）
又因為使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，使得a_n≤m+1成立的n的最大值為b_m+1，
所以b₁=1，b_m≤b_m+1．…（10分）
設a₂=k，則k≥2．
假設k＞2，即a₂=k＞2，
則當n≥2時，a_n＞2；當n≥3時，a_n≥k+1．
所以b₂=1，b_k=2．
因為{b_n}為等差數(shù)列，
所以公差d=b₂-b₁=0，
所以b_n=1，．
這與b_k=2（k＞2）矛盾，
所以a₂=2．…（11分）
又因為a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
所以b₂=2，
由{b_n}為等差數(shù)列，得b_n=n．…（12分）
因為使得使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，
所以a_n≤n，
由a_n≥n，得a_n=n．…（13分）

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生對題意的理解，考查學生分析解決問題的能力，有難度．