Question

11．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)（1，0）和直線x=-1距離相等的點(diǎn)的軌跡是曲線C
（1）求曲線C的方程．
（2）曲線C的焦點(diǎn)為F，問：是否存在過F且不垂直于x軸的直線l，使l與曲線C交于兩點(diǎn)P，Q，并且△POQ的面積為2$\sqrt{2}$，并說明理由（O為原點(diǎn)）

Answer 1

分析 （1）直接利用拋物線的定義求得拋物線方程；
（2）通過設(shè)直線l方程為：kx-y-k=0，并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式，可用k來表示P、Q兩點(diǎn)間的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出三角形中以PQ為底的高，進(jìn)而利用三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）由拋物線定義知，曲線C是以（1，0）為焦點(diǎn)、x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為：y²=4x；
（2）結(jié)論：存在過F的直線l：x-y-1=0或x+y-1=0滿足題設(shè)條件．
理由如下：
由（1）知F（1，0），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
設(shè)直線l方程為：kx-y-k=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y、整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
∴|PQ|²=$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}$
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$）²-4]
=[$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$]²，
又∵原點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|0-0-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△POQ=$\frac{1}{2}$•d•|PQ|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|0-0-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$
=2•$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解得：k=±1，
∴存在過F的直線l：x-y-1=0或x+y-1=0滿足題設(shè)條件．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．