Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AD，DD₁中點(diǎn)．求證：（1）EF∥平面C₁BD；
（2）A₁C⊥平面C₁BD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AD₁，由已知可證四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，即有A₁D∥BC₁，可證得EF∥BC₁，又EF?平面C₁BD，BC₁?平面C₁BD，從而可證EF∥平面AB₁D₁．
（2）連接AC，則AC⊥BD．可證AA₁⊥平面ABCD，又AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，可證BD⊥平面AA₁C，有A₁C⊥BD．同理可證A₁C⊥BC₁，又BD∩BC₁=B，即可證明A₁C⊥平面C₁BD．

解答： 證明：（1）連接AD₁，
∵E，F(xiàn)分別是AD和DD₁的中點(diǎn)，
∴EF∥AD₁
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥D₁C₁，AB=D₁C₁，
∴四邊形ABC₁D₁為平行四邊形，即有A₁D∥BC₁
∴EF∥BC₁．
又EF?平面C₁BD，BC₁?平面C₁BD，
∴EF∥平面AB₁D₁．
（2）連接AC，則AC⊥BD．
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C，
∴A₁C⊥BD．
同理可證A₁C⊥BC₁，
又BD∩BC₁=B，
∴A₁C⊥平面C₁BD．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，熟練掌握空間線線，線面垂直及平行的判定定理，性質(zhì)定理及幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．