【題目】如圖1.四邊形是邊長(zhǎng)為10的菱形，其對(duì)角線，現(xiàn)將沿對(duì)角線折起，連接，形成如圖2的四面體，則異面直線與所成角的大小為______.在圖2中，設(shè)棱的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，若四面體的外接球的球心在四面體的內(nèi)部，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為______.

【答案】

【解析】

連接、，利用線面垂直的判定定理可求異面直線與所成角的大�。幌雀鶕�(jù)外接球的性質(zhì)確定出四面體的外接球球心，利用勾股定理，求出和，進(jìn)而求出，借助三角函數(shù)的取值范圍以及，即可求出線段長(zhǎng)度的取值范圍.

連接、，四邊形是菱形，為棱的中點(diǎn)，

所以，，

又，

則平面，

由平面，

則，即異面直線與所成角的大小為.

由四邊形是邊長(zhǎng)為10的菱形，其對(duì)角線，

則，，

是的外心，在中線中，

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線平面，易知平面，

同理是的外心，在中線上，

設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線平面，易知平面，

由對(duì)稱性易知、的交點(diǎn)在直線上，

根據(jù)外接球的性質(zhì)，點(diǎn)為四面體的外接球的球心，

，，

，解得，

令，根據(jù)題意可知，，且,

則平面，平面，則，

所以，，

，

，

又，，，

，即線段長(zhǎng)度的取值范圍為，

故答案為：；

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四面體ABCD中，△ABC和△BCD均是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體ABCD的體積為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某城市先后采用甲、乙兩種方案治理空氣污染各一年，各自隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)API的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，若空氣質(zhì)量指數(shù)值在[0，300]內(nèi)為合格，否則為不合格.表1是甲方案檢測(cè)數(shù)據(jù)樣本的頻數(shù)分布表，如圖是乙方案檢測(cè)數(shù)據(jù)樣本的頻率分布直方圖.

表1：

API值

[0，50]

（50，100]

（100，150]

（150，200]

（200，250]

（250，300]

大于300

天數(shù)

9

13

19

30

14

11

4

（1）將頻率視為概率，求乙方案樣本的頻率分布直方圖中的值，以及乙方案樣本的空氣質(zhì)量不合格天數(shù)；

（2）求乙方案樣木的中位數(shù)；

（3）填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表（如表2），并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該城市的空氣質(zhì)量指數(shù)值與兩種方案的選擇有關(guān).

表2：

甲方案

乙方案

合計(jì)

合格天數(shù)

_______

_______

_______

不合格天數(shù)

_______

_______

_______

合計(jì)

_______

_______

_______

附：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的離心率是，一個(gè)頂點(diǎn)是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，是橢圓上異于點(diǎn)的任意兩點(diǎn)，且．試問(wèn)：直線是否恒過(guò)一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是數(shù)列1，，，…，的各項(xiàng)和，，.

（1）設(shè)，證明：在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)存在一個(gè)與上述數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)都相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并說(shuō)明理由；

（3）給出由公式推導(dǎo)出公式的一種方法如下：在公式中兩邊求導(dǎo)得：，所以成立，請(qǐng)類比該方法，利用上述數(shù)列的末項(xiàng)的二項(xiàng)展開(kāi)式證明：時(shí)（其中表示組合數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門(mén)經(jīng)常不定期地對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行抽查檢測(cè)，現(xiàn)對(duì)某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比，并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.

（1）求圖中的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計(jì)總體，視頻率作為概率，在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取3個(gè)產(chǎn)品，求所抽取的產(chǎn)品中一等品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且它的最小正周期是T，已知，.給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于給定的正整數(shù)，存在，使得成立；②當(dāng)a時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，存在，使得成立；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心；④當(dāng)時(shí)，的值只有0或.其中正確判斷的有( )

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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