【題目】如圖,在三棱柱中,,,點是線段的中點.

1)證明:平面;

2)若,求二面角的余弦值.

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1)連接,交于點,利用中位線定理可證得,從而得證;

2)以為原點,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求兩個面的法向量,利用向量夾角公式求解即可.

1)連接,交于點,連接,

因為棱柱的側(cè)面是平行四邊形,所以的中點.

又因為中點,所以的中位線.

所以

又因為平面,平面

所以平面

2)連接,,

因為

, 都為等邊三角形.

因為中點,所以,

因為,所以,

所以

所以,兩兩垂直,

為原點,,所在直線分別為,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

,,

,

設(shè)平面的法向量,則,

,得

平面的法向量,

設(shè)二面角的平面角為,顯然為銳角,故

所以二面角的余弦值為

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,點K在橢圓E上,、分別為橢圓的兩個焦點,求的范圍;

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