Question

1．近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)篷布發(fā)張的新機(jī)遇，2015年雙11期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷售業(yè)績(jī)高達(dá)918億人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次．
（Ⅰ）完成商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的5次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量X．
①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考數(shù)據(jù)及公式如下：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k²的值，對(duì)應(yīng)數(shù)表得答案；
（Ⅱ）①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相應(yīng)的概率，可得對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：

	對(duì)服務(wù)好評(píng)	對(duì)服務(wù)不滿意	合計(jì)
對(duì)商品好評(píng)	80	40	120
對(duì)商品不滿意	70	10	80
合計(jì)	150	50	200

得K²=$\frac{200×（80×10-40×70）^{2}}{150×50×120×80}$≈11.111＞10.828，
可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；
①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．
P（X=0）=0.6⁵；P（X=1）=C₅¹•0.4•0.6⁴；P（X=2）=C₅²•0.4²•0.6³；P（X=3）=C₅³•0.4³•0.6²；
P（X=4）=C₅⁴•0.4⁴•0.6；P（X=5）=0.4⁵，
②X的分布列

X	0	1	2	3	4	5
P	0.65	C51•0.4•0.64	C52•0.42•0.63	C53•0.43•0.62	C54•0.44•0.6	0.45

EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，對(duì)考生的對(duì)數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題．