Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=xe^x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)可得f（x）=f（-x），從而求表達(dá)式．
（2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，∴f（x）=xe^-x，又為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=xe^-x．
則f（x）=

xe-x，x＞0 -xex，x≤0

；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x，∴（0，1）時(shí)f′（x）＞0，f（x）遞增，（1，+∞）時(shí)f′（x）＜0，
f（x）遞減；由于偶函數(shù)，據(jù)對(duì)稱性，（-∞，-1）時(shí)f′（x）＞0，f（x）遞增，（-1，0）時(shí)f′（x）＜0，f（x）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇偶函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題．