Question

16．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”．約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等．如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長(zhǎng)寬高皆為八分之一正方體的邊長(zhǎng)的倒四棱錐“等冪等積”，計(jì)算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2r，可得$\frac{1}{8}$V_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}=\frac{1}{3}{r}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方體}$⇒V_牟合方蓋=$\frac{2}{3}{V}_{正方體}$

解答 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2r，因?yàn)閂_正方體=（2r）³=8r³，
$\frac{1}{8}$V_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}=\frac{1}{3}{r}^{3}$，
∴$\frac{1}{8}{V}_{\;}$_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}$$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方體}$，
⇒V_牟合方蓋=$\frac{2}{3}{V}_{正方體}$，
牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)文化，考查了閱讀能力，推理能力，屬于中檔題．