Question

4．用定義法證明$f（x）=\frac{1}{x+1}$在（-1，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，基本步驟是“一取值，二作差，三判正負(fù)，四下結(jié)論”，由此可以證明．

解答 證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1}{{{x_1}+1}}-\frac{1}{{{x_2}+1}}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$；
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，
又∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴$f（x）=\frac{1}{x+1}$在（-1，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．