Question

10．如圖所示，已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
（1）求三棱錐C₁-BCD的體積；
（2）求證：平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

Answer 1

分析 （1）代入棱錐的體積公式計算即可；
（2）由正方體的結(jié)構(gòu)特征得出BC₁⊥B₁C，CD⊥平面BCC₁B₁，故CD⊥BC₁，于是BC₁⊥平面A₁B₁CD，從而平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

解答 （1）解：S_△BCD=$\frac{1}{2}×BC×CD$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•C{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．
（2）證明：連結(jié)B₁C，A₁D，
∵CD⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BC₁，
∵四邊形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，又CD?平面A₁B₁CD，B₁C?平面A₁B₁CD，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
又BC₁?平面C₁BD，
∴平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

點評 本題考查了面面垂直的判定，正方體的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．