Question

18．若復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）滿足|z|≤1，則|z-2i|的取值范圍是[1，3]，|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 由z=x+yi（x，y∈R）滿足|z|≤1，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得|z-2i|的取值范圍；
由x²+y²≤1，可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，去絕對值后得到目標(biāo)函數(shù)z=-3x-4y+10，然后結(jié)合圓心到直線的距離求得|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值．

解答 解：∵z=x+yi（x，y∈R）滿足|z|≤1，
∴在復(fù)平面內(nèi)z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，
如圖，

∴|z-2i|的取值范圍是[1，3]；
由x²+y²≤1，
可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，
則|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，
令z=-3x-4y+10，得y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$，
如圖，

要使z=-3x-4y+10最大，則直線y=-$\frac{3}{4}x$-$\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$在y軸上的截距最小，
由z=-3x-4y+10，得3x+4y+z-10=0．
則$\frac{|z-10|}{5}=1$，即z=15或z=5．
由題意可得z的最大值為15．
故答案為：[1，3]；15．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．