Question

12．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點（-1，3），且關(guān)于直線x=1對稱
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若m＜3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，3]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點（-1，3），且關(guān)于直線x=1對稱，列出方程組，能求出b和c，由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)1≤m＜3，-1≤m＜1，m＜-1三種情況分類討論，能求出f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象過點（-1，3），且關(guān)于直線x=1對稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=1-b+c=3}\\{-\frac{2}=1}\end{array}\right.$，
解得b=-2，c=0，
∴f（x）=x²-2x．
（Ⅱ）當1≤m＜3時，f（x）_min=f（m）=m²-2m，
f（x）_max=f（3）=9-6=3，
∴f（x）的值域為[m²-2m，3]；
當-1≤m＜1時，f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（-1）=1+2=3，
∴f（x）的值域為[-1，3]．
當m＜-1時，f（x）_min=f（1）=1-2=-1，
f（x）_max=f（m）=m²-2m，
∴f（x）的值域為[-1，m²-2m]．

點評 本查題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的值域的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是中檔題．