Question

3．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． m≥4或m≤-2
• B． m≥2或m≤-4
• C． -2＜m＜4
• D． -4＜m＜2

Answer 1

分析 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4$≥4+2\sqrt{4}$=8．不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立?m²+2m＜$（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）_{min}$，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=1，∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）（$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}$）=$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+4$≥4+2\sqrt{4}$=8．（當(dāng)$\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}，即x=2y=\frac{1}{2}時(shí)，取等號(hào)）$
∵不等式$\frac{2}{x}$$+\frac{1}{y}$＞m²+2m成立，∴m²+2m＜8，求得-4＜m＜2
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．屬于中檔題．