【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=kax﹣ax(a>0且a≠1)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)k的值;
(2)若a>1,試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(3)若已知f(1)= ,且函數(shù)g(x)=a2x+a2x﹣2mf(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為﹣2,求實數(shù)m的值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=kax﹣ax(a>0且a≠1)是奇函數(shù).

∴f(0)=0,即k﹣1=0,解得k=1


(2)解:∵f(x)=ax﹣ax(a>0且a≠1),

當(dāng)a>1時,f(x)在R上遞增.

理由如下:設(shè)m<n,則f(m)﹣f(n)=am﹣am﹣(an﹣an

=(am﹣an)+(an﹣am)=(am﹣an)(1+ ),

由于m<n,則0<am<an,即am﹣an<0,

f(m)﹣f(n)<0,即f(m)<f(n),

則當(dāng)a>1時,f(x)在R上遞增


(3)解:∵f(1)= ,∴a﹣ = ,

即3a2﹣8a﹣3=0,

解得a=3或a=﹣ (舍去).

∴g(x)=32x+32x﹣2m(3x﹣3x)=(3x﹣3x2﹣2m(3x﹣3x)+2,

令t=3x﹣3x,

∵x≥1,

∴t≥f(1)=

∴(3x﹣3x2﹣2m(3x﹣3x)+2=(t﹣m)2+2﹣m2,

當(dāng)m 時,2﹣m2=﹣2,解得m=2,不成立舍去.

當(dāng)m 時,( 2﹣2m× +2=﹣2,

解得m= ,滿足條件,

∴m=


【解析】(1)由于函數(shù)的定義域為R,且f(x)為奇函數(shù),一定有f(0)=0,解得k=1,(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,進(jìn)行設(shè)值作差,分析可得出f(x)在R上單調(diào)遞增,(3)由于f(1)=,解得a=3,代入g(x)中,得到解析式,使用換元法,結(jié)合二次函數(shù)的最值問題,可解得m的值.
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì),掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大。虎圩鞑畋容^或作商比較;在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇即可以解答此題.

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