Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=﹣1的距離相等，記P的軌跡為Γ．又直線AB的一個(gè)方向向量 且過點(diǎn)（1，0），AB與Γ交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長．

Answer 1

【答案】解：∵動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=﹣1的距離相等，
∴由拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ是拋物線，
設(shè)其方程為y2=2px，由 =1得2p=4，
∴拋物線的方程為y2=4x，即為曲線Γ的方程．
∵直線AB的一個(gè)方向向量 ，過點(diǎn)（1，0），
∴直線AB的斜率k=2，方程為y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．
設(shè)直線l與曲線Γ的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 ，整理得x2﹣3x+1=0，可得x1+x2=3．
∴根據(jù)拋物線的定義，可得|AB|=x1+x2+p=2+x1+x2=5．
【解析】根據(jù)拋物線的定義得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ是拋物線，求出其方程為y2=4x．由直線方程的點(diǎn)斜式，算出直線AB的方程為y=2x﹣2，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)解，并結(jié)合拋物線的定義加以計(jì)算，可得線段AB的長．