Question

18．已知正三棱錐的高為3cm，一個側(cè)面三角形的面積為6$\sqrt{3}$cm²，則這個正三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角的大小是60°．

Answer 1

分析 設正三棱錐為S-ABC，底面為正三角形，高OS，O點為△ABC外（內(nèi)心、重心），延長CO交AB于D，易證AB⊥CD，SD⊥AB，則∠CDS是正三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角，在三角形CDP中求出此角即可．

解答 解：設正三棱錐為S-ABC，底面為正三角形，高OS，O點為△ABC外（內(nèi)心、重心），延長AO交BC于D，
設底面邊長為：a，則OD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$．
SO=3，SD=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}}$=$\sqrt{9+\frac{{a}^{2}}{12}}$，側(cè)面三角形的面積為6$\sqrt{3}$cm²，
∴$\frac{1}{2}a•\sqrt{9+\frac{{a}^{2}}{12}}=6\sqrt{3}$，解得a=6．
SD=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，AD⊥CB，SD⊥BC，∠SDO是S-BC-A二面角的平面角，
cos∠SDO=$\frac{1}{2}$，∠CDP=60°，側(cè)面與底面所成的二面角是60°．
故答案為：60°．

點評 本題主要考查了二面角的平面角及求法，同時考查了正三棱錐的性質(zhì)，解題的關鍵是尋找二面角的平面角，屬于基礎題．