Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點坐標分別為F₁，F(xiàn)₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（1，2），則此雙曲線的標準方程是x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點（1，2）到原點的距離等于半焦距，可得a²+b²=5．由點（1，2）在雙曲線的漸近線上，得到$\frac{a}$=2，兩式聯(lián)解得出a=1且b=2，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：∵點（1，2）在以|F₁F₂|為直徑的圓上，
∴c=$\sqrt{5}$，可得a²+b²=5…①
又∵點（1，2）在雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x上，
∴$\frac{a}$=2…②，
①②聯(lián)解，得a=1且b=2，可得雙曲線的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的方程，考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．